模型估计

在设计LQR与LQG的过程中，我们往往默认参数是已知的，但是实际情况中参数一般是未知的，所以我们需要首先进行模型估计。本文将针对常用的模型估计方法进行总结。

估计方法

最小二乘法（LSM）

该方法使用线性系统输入（控制动作）和输出（状态轨迹）对系统参数进行辨识，一个线性系统可以表示为如下形式：

$$\begin{equation} x_{t+1}=A x_{t}+B u_{t} \end{equation} \label{ss}$$

LSM的目标是找到关于$A$和$B$的无偏估计$\hat{A}$和$\hat{B}$，寻找方法为解决如下二次优化问题：

$$\begin{equation} (\hat{A}, \hat{B})=\arg \min _{(A, B)} \sum_{t=0}^{T} \frac{1}{2}\left\|x_{t+1}-\left(A x_{t}+B u_{t}\right)\right\|_{2}^{2} \end{equation}$$

为了解决上式，令$z{t}=\left[\begin{array}{l}{x{t}} \ {u_{t}}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{n+p}$，$\theta=[A, B] \in \mathbb{R}^{(n+p) \times n}$，在每一个采样点处进行采样，我们得到：

$$\begin{equation} X=\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {\vdots} \\ {x_{T}}\end{array}\right], \quad Z=\left[\begin{array}{c}{z_{0}} \\ {z_{1}} \\ {\vdots} \\ {z_{T-1}}\end{array}\right] \end{equation}$$

公式$(\ref{ss})$可以写为：

$$X=Z\theta$$

假设$Z^TZ$可逆，那么关于$\theta$的最小二乘估计为：

$$\begin{equation} \hat{\theta}=\left(Z^{T} Z\right)^{-1} Z^{T} X \end{equation}$$

Reference

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1. 1.Lecture 20: Linear Dynamics and LQG ↩