信号分析基本术语

本文将针对信号分析中的基本术语进行总结。

频谱分析

信号的能量、功率及谱密度

信号的能量及功率在时频域下的表示

对于一个信号 $x(t)$ ，该信号可以是任意随着时间变化的物理量，那么我们可以对该信号进行能量分析。例如对于一个电流信号 $I$ ，其能量如下：

$W=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T} I^{2} R \mathrm{d} t$

推广至一般情况，一个信号的能量 $W$ 为：

$W=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T} x^{2}(t) \mathrm{d} t$

同时，我们可以对信号进行频域分析，获得信号在频域下的能量表示：

$W=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^{2} \mathrm{d} \omega, X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t$

信号的平均功率为：

$P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x^{2}(t) \mathrm{d} t$

对于不同的信号，上面关于能量或功率的极限可能并不存在，如果 $W$ 的极限存在，那么该信号为能量信号，如果 $P$ 极限存在，该信号为功率信号。一个信号可以既不是能量也不是功率信号，但是不能即是能量信号又是功率信号。

谱密度

能量谱密度（能量在频率上的密度）

对于一个能量信号，通过傅立叶变换可以分离不同频域分量对应的能量，频率 $\omega$ 对应的能量为：

$dW=|X(\omega)|^{2}d(\omega/2\pi)$

对 $\omega$ 积分就能得到信号总能量，那么 $|X(\omega)|^{2}$ 即为能量谱密度，是能量在某一频率上的分布密度，实际即为能量相对于频率的密度

功率谱密度

根据能量谱密度的含义，那么功率谱密度实际就是功率相对于频率的密度。我们选取一个周期功率信号 $x(t)$ ，其在时间上无始无终，能量是无限的，但是功率是有限的，对信号进行傅立叶展开，可以写为：

$x(t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(n \Omega_{0} t+\varphi_{n}\right), \Omega_{0}=\frac{2 \pi}{T_{0}}$

或表示为复指数形式：

$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{j n \cdot \Omega_{0} t}$

我们选取一个周期进行能量平均，可以得到一个周期内的平均功率为：

$P=\frac{1}{T_{0}} \int_{0}^{T_{0}} x^{2}(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{T_{0}} \int_{0}^{T_{0}}\left[\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(n \Omega_{0} t+\varphi_{n}\right)\right]^{2} \mathrm{d} t$

或

$P=\frac{1}{T_{0}} \int_{0}^{T_{0}}\left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} \mathrm{e}^{j n \Omega_{0} t}\right)^{2} \mathrm{d} t$

根据正交性，我们可以得到：

$P=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_{n}^{2} / 2\right)=\sum_{n=1}^{\infty} P_{n}$

或

$P=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left(\left|c_{n}\right|^{2} / 2\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} P_{n}^{*}$

其中 $A_n$ 为谐波分量的幅值， $P_n$ 为谐波分量的功率。结论为：周期信号的平均功率等于各谐波分量幅值的平方和，我们的结论就是周期信号的功率是离散地分布在频率为基频 $\Omega_0$ 整数倍的谐波分量上的。如果我们以频率为横坐标，功率为纵坐标，可以得到功率随频率的分布。容易观察到，周期信号的功率谱分布是离散的，等间隔的，间隔长度即为基频。

谱密度分布

均匀分布（不相关）

当功率谱密度服从均匀分布时，意味着任意时刻出现的噪声幅值是随机的，即某一时刻噪点孤立，不受其他时间点噪声的影响。

参考文献

1.信号的功率谱密度 ↩