原码、反码与补码

困难的事情不是我们如何理解机器，而是机器如何理解我们

计算机依赖二进制进行运算，而为了配合二进制计算设计硬件电路，人们提出了原码、反码以及补码的概念。本文将针对这些概念及相互之间的转换进行总结。

原、反、补码的概念

原码

原码由两部分组成

• 符号位
• 真值的绝对值

原码的第一位为符号位，其余位为值位，例如：

$$\begin{aligned} +1_{[原]}=0000 ,0001\\ -1_{[原]}=1000 ,0001 \end{aligned}$$

其中符号位0为正，1为负。原码的表示范围为：[1111 1111, 0111 1111]，即-127到127。从形式上看，原码符合人类对于数字的认知，所以是人比较能理解的计数方式。

反码

反码的表示方法为：

• 正数即本身
• 负数符号不变、其余取反

$$\begin{aligned} +1 = [0000 ,0001]_{原}= [0000,0001]_{反}\\ -1 = [1000 ,0001]_{原}= [1111,1110]_{反} \end{aligned}$$

一会儿再讨论为什么要这样设计，先记住其定义。

补码

补码的表示方法为：

• 正数即本身
• 负数在反码基础上+1

$$\begin{aligned} +1 = [0000 ,0001]_{原}= [0000,0001]_{反}= [0000,0001]_{补}\\ -1 = [1000 ,0001]_{原}= [1111,1110]_{反}= [1111,1111]_{补} \end{aligned}$$

为何使用原码、反码与补码

根本原因是为了简化电路设计，我们知道加法是很简单的，但是如果要在计算机中引入减法，就会导致电路设计的复杂，所以有没有一种方案能够将减法转换为加法呢？简单来说，减法可以表示为一个数加上另一个数的负数，而通过引入反码与补码的方式，我们可以让符号位也参与到运算中，从而只需要加法即可。我们以1-1=0为例，探讨反码与补码的运算过程。

如果我们使用原码计算1-1即1+(-1)，那么得到的结果是：

$$1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2$$

显然结果不正确。如果我们使用反码计算，那么结果为：

$$1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0$$

我们发现结果的值部分虽然是正确的，但是问题就处在0上，0带符号是没有任何意义的，如果用反码，会出现两个0，即+0和-0，这显然不是我们想要的结果。于是人们提出了补码，解决了0的问题：

$$1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_补 + [1111 1111]_补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原$$

修复之后，0有了唯一的表示，同时，多出来的1000,0000还可以用来表示-128，但是由于实际上的-0表示了-128，所以-128并没有对应的原码和反码表示。

总之一句话：反码和补码是出于对计算机电路简化设计而引申出的定义。

参考文献